Злп задача о диете мат модель задачи

2.1. Задача о диете

Исторические задача о диете является одной из первых задач линейного
программирования.

Постановка задачи – первый и наиболее важный этап построения модели,
способный обеспечить правильное решение проблемы.

Даме необходимо похудеть, за помощью обратилась к подруге.

Построение модели – рассмотрение этого этапа и является главной целью.

Подруга посоветовала перейти на рациональное питание, состоящее из двух
продуктов P и Q.

Суточное питание этими продуктами должно давать не более 14 единиц жира
(чтобы похудеть), но не менее 300 калорий. На упаковке продукта Р
написано, что в одном килограмме этого продукта содержится 15 единиц жира и 150
калорий, а на упаковке с продуктом Q – 4
единицы жира и 200 калорий соответственно. При этом цена 1 килограмма продукта
Р равна 15 руб., а 1 кг продукта Q – 25
руб.

Так как дама была стеснена в средствах, но ее интересовал вопрос: в какой
пропорции нужно брать эти продукты для того, чтобы выдержать условия диеты и
истратить как можно меньше денег?

Перейдем к формализации данной ситуации на языке математических символов.

Обозначим через х количество продукта Р и
через у количество продукта Q, требуемые
для выполнения условий диеты.

Количество единиц жира, содержащегося в х кг продукта
Р и в у кг продукта Q, равно
15х + 4 и по условию диеты не должно превосходить 14:

В свою очередь, количество калорий, содержащихся в х
кг продукта Р и в у кг продукта Q,
равно 150х + 200у и по условию диеты должно быть не меньше 300:

Теперь о стоимости z продуктов.
Она равна

и в соответствии с высказанными пожеланиями должна быть минимальной.

Последнее записывается так:

Тем самым мы получили систему формул:

которую решим графическим способом.

Нас интересует только та ее часть, которая лежит над треугольником
BDE. Вычисляя значения z
во всех трех вершинах этого треугольника

и сравнивая полученные результаты, замечаем, что наименьшее значение (35)
достигается в вершине Е. Таким образом,

и искомая пропорция – 2 : 3.

2.2. Задача о выпуске продукции

Фирма выпускает два вида древесно-стружечных плит – обычные и
улучшенные. При этом производится две основные операции – прессование и отделка.
Требуется указать, какое количество плит каждого типа можно изготовить в течение
месяца так, чтобы обеспечить максимальную прибыль при следующих ограничениях на
ресурсы (материал, время, затраты):

Перейдем к построению математической модели
поставленной задачи. Введем следующие обозначения. Пусть

х – количество партий в 100 плит обычного
вида, изготавливаемых в течение месяца;
у – количество партий в 100 плит
улучшенного качества, изготавливаемых в течение месяца.

Тогда ожидаемую прибыль можно записать так:

Требуется найти такие значения х и у,
подчиненные условиям

для которых

Для того, чтобы найти в первой четверти плоскости хОу
множество точек, координаты (х, у) которых удовлетворяют указанным выше
неравенствам, необходимо сначала построить прямые (по точкам их пересечения с
координатными осями)

а затем, используя точку начала отсчета О(0, 0),
определить соответствующие полуплоскости. Пересечением полученных полуплоскостей
будет четырехугольник ОВМЕ.

Наша целевая функция достигает наибольшего значения в одной
из вершин четырехугольника.

Нам необходимо найти координаты точки М – точки
пересечения прямых EF и АВ, для этого надо
решить систему уравнений

Вычислить значения z в точках
В(0, 100), Е(150, 0), М(100, 50):

Из полученных значений выберем наибольшее и получим ответ:

2.3. Общая задача линейного программирования

В общем случае и число неизвестных , и число ограничений
могут достигать десятков, сотен, тысяч и т.д. Однако набор соответствующих
условий ничем (кроме количества) от рассмотренных выше примеров не отличается.
Это нетрудно заметить уже по общей постановке задачи линейного программирования.

Стандартная математическая формулировка общей задачи
линейного программирования выглядит так: требуется найти экстремальное значение
показателя эффективности (целевой функции)

(линейной функции элементов решения
) при линейных ограничительных
условиях, накладываемых на элементы решения:

где – заданные числа.

Что касается существующих методов решения этой задачи с
числом переменных, больших двух, то в их основе лежат те же идеи, на которые мы
опирались при разработке графического подхода. Конечно, в случае сильного
увеличения числа переменных и ограничений техника получения решения заметно
усложняется, но она опирается на совершенно стандартные, хорошо разработанные
алгоритмы (возникающие трудности связаны лишь с ростом объема необходимых
вычислений).

Общую постановку задачи линейного программирования можно
записать в более компактной форме, если воспользоваться следующим правилом.

Правило сокращенного суммирования. Для обозначения
суммы чисел :

принята такая запись:

где ∑ – знак суммирования, а
k – индекс суммирования.

Это обозначение очень удобно:

А вот как выглядит запись общей задачи линейного
программирования:

2.4. Транспортная задача

Важный тип задач линейного программирования представляет
задача о перевозках. Называется она так потому, что цель этой задачи
заключается в минимизации полной стоимости перевозок известного количества
товаров со складов к потребителю.

Сбалансированная задача – задача о перевозках, в
которой общий объем товаров, готовых к отправлению, в точности равен объему
товаров, который готовы принять в пунктах назначения.

Пример 1. Рассмотрим транспортную задачу, заданную таблицей

Решение. Пусть – искомое число единиц
товара, пересылаемого из пункта в пункт
. Тогда данные таблицы можно
представить в следующем виде:

при условии, что

Положим и выразим через
t остальные переменные:
из первого уравнения: ,
из второго уравнения: ,
из третьего уравнения:

Тогда

Из того, что все не
отрицательны, получаем, что переменная t должна
удовлетворять одновременно следующим четырем неравенствам:

Тем самым, мы получили условие .

Не трудно заметить, что при
t = 16.

Ответ:

Пример 2. Компания имеет два товарных склада и трех оптовых
покупателей. Известно, что общий объем запасов на складах составляет 300 тыс.
единиц продукции и совпадает с общим объемом заказов покупателей.

Обозначим через количество товара,
поставляемого со склада покупателю
.

Тогда соответствующая транспортная задача может быть
сформулирована следующим образом.

Минимизировать общую стоимость перевозок:

при условии, что

Получаем задачу линейного программирования, в которой
основные ограничения вследствие того, что транспортная задача сбалансирована,
является равенствами.

Положим и
выразим через u и
v остальные переменные. Имеем

Учитывая, что все перевозки должны получить неотрицательные значения, мы
приходим к задаче

которую можно решить графическим методом.

Выписанные неравенства определяют на плоскости (u,
v) пятиугольник с вершинами (30, 0), (70, 0), (70, 50), (0,
120), (0, 30).

Ответ:

В начало

На главную страницу

Линейное
программирование

В конец страницы

10.1. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

1. Задача использования сырья
(задача планирования производства).

Для изготовления двух видов
продукции  и
 используют
три вида сырья: ,
 и
.
Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы
продукции, а также величина прибыли, получаемая от реализации единицы продукции,
приведены в таблице 10.1. Необходимо составить такой план выпуска продукции,
чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Таблица 10.1

 Составим
экономико-математическую модель (математическое описание исследуемого
экономического процесса) задачи.

Обозначим через
,
 количество
единиц продукции соответственно ,
,
запланированных к производству. Тогда учитывая количество единиц сырья,
затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а также запасы сырья, получим
систему ограничений

(10.1)

     
По смыслу задачи переменные
,
.
(10.2)

Суммарная прибыль
F(x) составит
 руб.
от реализации продукции  и
 руб.
– от реализации продукции ,
т.е.

                                                    
.
(10.3)

Итак, экономико-математическая
модель задачи: найти такой план выпуска продукции
,
удовлетворяющий системе (10.1) и условию (10.2), при котором функция (10.3)
принимает максимальное значение.

Задачу легко обобщить на случай
выпуска n видов продукции с использованием
m видов сырья.

2. Задача составления рациона
(задача о диете).

Имеется два вида корма
I и II, содержащие
питательные вещества (витамины) ,
 и
.
Содержание количества единиц питательного вещества в 1 кг каждого вида корма и
стоимость 1 кг корма приведены в таблице 10.2.

 Таблица
10.2

Необходимо составить дневной
рацион, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не менее
установленного минимума, причем затраты на него должны быть минимальными.

Составим экономико-математическую
модель задачи. Обозначим через  и
 соответственно
количество кормов I и II,
входящих в дневной рацион. Принимая во внимание значения, приведенные в табл.
10.2, и условие, что дневной рацион удовлетворяет требуемой питательности только
в случае, если количество единиц питательных веществ не меньше предусмотренного,
получим систему ограничений

(10.4)

Кроме того, переменные

                                                    
,
. (10.5)

Общая стоимость рациона (в руб.)
составит

                                          
. (10.6)

Итак, экономико-математическая
модель задачи: составить дневной рацион
,
удовлетворяющий системе (10.4) и условию (10.5), при котором функция (10.6)
принимает минимальное значение.

3. Задача о раскрое материалов.

На раскрой поступает материал
одного образца в количестве a единиц. Требуется
изготовить из него l разных комплектующих
изделий в количествах пропорциональных числам 
,
,
…,  (условие
комплектности). Каждая единица материала может быть раскроена
n различными способами, при этом использование
i-го способа (i
=1, 2, …, n) дает
 единиц
k-го изделия (k
= 1, 2, …, l). Требуется составить план
раскроя, обеспечивающий максимальное количество комплектов.

Составим экономико-математическая
модель задачи. Обозначим через  количество
единиц материала, раскраиваемых i-м способом, и
x – количество изготавливаемых комплектов
изделий.

Так как общее количество материала
равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, то

(10.7)

 Условие комплектности выразится
уравнениями

 (k
= 1, 2, …, l)                       
(10.8)

по смыслу задачи переменные

                                                    
 (i
= 1, 2, …, n).                           
(10.9)

Итак, экономико-математическая
модель задачи: найти такое решение ,
удовлетворяющее системе уравнений (10.7) – (10.8) и условию (10.9), при котором
функция F = x
принимает максимальное значение.

 Назад     К
началу страницы    
Вперед