В задаче о диете число переменных равно числу

-: минимизировать количество потребляемых продуктов

-: максимизировать количество питательных веществ в продуктах питания

-: максимизировать прибыль

+: минимизировать издержки на рацион питания

I:

S: При преобразовании задачи линейного программирования к каноническому виду, дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с коэффициентами,

+: равными нулю

-: равными очень большим положительным числам

-: равными правым частям соответствующих ограничений

-: равными единице

I:

S: Задача линейного программирования

max Z = С ∙ X

А1х1 + … + Аn ∙ хn = А0, X 0

задана

-: в общей форме

-: в скалярной форме

+: в векторной форме

-: в стандартной форме

I:

S: Для задачи о наилучшем использовании ресурсов дополнительные переменные показывают:

+: величину неиспользованного ресурса

-: величину ресурса, использованного в оптимальном плане

-: дополнительную прибыль от сэкономленного ресурса

-: стоимость соответствующего потребляемого ресурса

I:

S: Для задачи о смесях дополнительная переменная показывает:

-: потребление соответствующего питательного вещества в пределах нормы

+: потребление соответствующего питательного вещества в оптимальном плане сверх нормы

-: стоимость соответствующего потребляемого вещества

-: величину ресурса, использованного в оптимальном плане

I:

S: В задаче о рационе требуется:

+: минимизация общей стоимости всех кормов

-: максимизация содержания питательных веществ в кормах

-: минимизация количества кормов

-: минимизация стоимости всех питательных веществ

I:

S: Если какая-то переменная хк задачи ЛП не подчинена условию не отрицательности, то ее следует:

-: исключить из числа переменных

+: заменить двумя неотрицательными переменными, приняв хк = uk – vk

-: увеличить в два раза

-: обнулить

I:

S: Пусть х* – оптимальный план задачи ЛП на max с целевой функцией F. Тогда для любого допустимого плана х выполняется соотношение:

-: F (x) = F (x*)

-: F (x) > F (x*)

+: F (x) ≤ F (x*)

-: F (x) = –F (x*)

I:

S: Если х* – оптимальный план задачи ЛП на min, F – целевая функция, а x– любой допустимый план задачи, то справедливо следующее соотношение:

+: F (x) ≥ F (x*)

-: F (x*) + F (x) = 0

-: F (x*) ∙ F (x) = 1

-: F (x) = F (x*)

I:

S: Линейное программирование это

-: один из приемов разработки программного обеспечения ЭВМ

+: математический метод оптимизации

-: определение последовательности действий при проведении общественных мероприятий

-: составление программ линейной структуры

I:

S: В линейном программировании используются функции, уравнения и неравенства

-: преимущественно линейные

+: только линейные

-: любые

-: в зависимости от решаемой задачи

I:

S: Методы линейного программирования позволяют определить оптимальное экономическое решение

-: всегда

+: да, если оно существует

-: линейное программирование предназначено для других целей

I:

S: Конкретный план в линейном программировании представляется

-: датами

+: числовыми значениями

-: интегральной кривой возможных потерь

-: кривыми спроса

I:

S: Оптимальный план задачи ЛП это

-: любой план

-: любой допустимый план

+: допустимый план, которому соответствует максимум выручки

-: любой опорный план

I:

S: Система ограничений задачи ЛП это система

-: нестрогих неравенств

-: только строгих неравенств

-: только равенств

+: равенств и неравенств

I:

S: Допустимыми являются планы

-: любые

-: любые с положительными значениями

+: удовлетворяющие системе ограничений

-: любые с ненулевыми значениями

I:

S: Целевая функция задачи линейного программирования должна быть

-: нелинейной

+: линейной

-: любой

-:выпуклой

I

S: Математическая модель задачи линейного программирования это

-: целевая функция

+: целевая функция и набор ограничений

-: набор ограничений

I:

S: Методом линейного программирования решаются задачи поиска экстремума

-: нелинейной функции при линейных ограничениях

-: линейной функции при нелинейных ограничениях;

+: линейной функции при линейных ограничениях.

I:

S: Допустимым планом задачи является

-: любой план

+: любой план, обеспечивающий выполнение ограничений

-: это зависит от конкретного содержания задачи

-: любой план с ненулевыми значениями

S: Оптимальным планом задачи является план

-: любой, обеспечивающий выполнение ограничений

-: доставляющий экстремум целевой функции

+: доставляющий экстремум целевой функции при выполнении ограничений

-: любой с ненулевыми значениями

I:

S: В задаче линейного программирования допустимо количество ограничений

+: не более числа переменных

-: равное числу переменных

-: любое

-: не более 1000

I:

S: Максимальное значение функции при ограничениях

равно

-: 8

-: 5

+: 6

-: 1

I:

S: Максимальное значение функции при ограничениях

равно

-: 0

-: -1

-: -2

+: -3

I:

S: Максимальное значение функции при ограничениях

равно

-: 12

-: 14

+: 16

-: 18

I:

S: Максимальное значение функции при ограничениях

равно

-: 23

-: 6

+: 22

-: 14

I:

S: Максимальное значение функции при ограничениях

равно

-: 14

-: 16

-: 22

+: 30

I:

S: Для изготовления изделий и склад может отпустить металла не более 80 кг, причем на одно изделие расходуется 2 кг, а на изделие – 1кг металла. Укажите план производства, при котором обеспечен наибольший доход, если изделий требуется изготовить не более 30 шт., а изделий – не более40 шт., причем одно изделие стоит 5 ден.ед., а одно изделие -3 ден.ед.

+:

-:

-:

-:

-:

I:

S: Если вся выпускаемая продукция или ее часть реализуется комплектами, то в модели задачи необходимо изменить

-: целевую функцию и систему ограничений

-: только целевую функцию

+: только систему ограничений

I:

S: Если предприятие может пополнять объемы ресурсов, неся связанные с этим затраты, но и расширяя свои производственные возможности, то в модели задачи необходимо изменить

-: только целевую функцию

+: целевую функцию и систему ограничений

-: только систему ограничений

Предположим для определенности, что необходимо составить самый дешевый рацион питания цыплят, содержащий необходимое количество определенных питательных веществ (для простоты, тиамина Т и ниацина Н).

Таблица 8.1

Исходные данные в задаче об оптимизации смеси

Пищевая ценность рациона (в калориях) должна быть не менее заданной. Пусть для простоты смесь для цыплят изготавливается из двух продуктов – К и С. Известно содержание тиамина и ниацина в этих продуктах, а также питательная ценность К и С (в калориях). Сколько К и С надо взять для одной порции куриного корма, чтобы цыплята получили необходимую им дозу веществ Н и Т и калорий (или больше), а стоимость порции была минимальна? Исходные данные для расчетов приведены в Табл. 8.1.

Задача линейного программирования имеет вид:

3,8K+4,2Cð min

0,10K+0,25C≥1,00

1,00K+0,25C≥5,00

110K+120C≥400,00

K≥0

C≥0

Ее графическое решение представлено на Рис. 8.1

Рис. 8.41. Графическое решение задачи об оптимизации смеси

На рис. 8.4 ради облегчения восприятия четыре прямые обозначены номерами (1) – (4). Прямая (1) описывается уравнением 1,00K+0,25C=5,00 (ограничение по веществу Н). Она проходит, как и показано на рисунке, через точки (5, 0) на оси абсцисс и (0, 20) на оси ординат. Обратите внимание, что допустимые значения параметров (К, С) лежат выше прямой (1) или на ней, в отличие от ранее рассмотренных случаев в предыдущей производственной задаче линейного программирования.

Прямая (2) – это прямая 110K+120C=400,00 (ограничение по калориям). Обратим внимание, что в области неотрицательных С она расположена всюду ниже прямой (1). Действительно, это верно при K=0, прямая (1) проходит через точку (0, 20), а прямая (2) – через расположенную ниже точку (0, 400/120). Точка пересечения двух прямых находится при решении системы уравнений

1,00K+0,25C=5,00

110K+120C=400,00

Из первого уравнения K=5-0,25C. Подставим во второе:
110(5-0,25C)+120C=400, откуда 550-27,5C+120C=400. Следовательно, 150=-92,5C , т. е. решение достигается при отрицательном С. Это и означает, что при всех положительных С прямая (2) лежит ниже прямой (1). Значит, если выполнено ограничение по Н, то обязательно выполнено и ограничение по калориям. Мы столкнулись с новым явлением – некоторые ограничения с математической точки зрения могут оказаться лишними. С экономической точки зрения они необходимы, отражают существенные черты постановки задачи, но в данном случае внутренняя структура задачи оказалась такова, что ограничение по калориям не участвует в формировании допустимой области параметров и нахождении решения.

Прямая (4) – это прямая 0,1K+0,25C=1 (ограничение по веществу Т). Она проходит, как и показано на рисунке, через точки (10, 0) на оси абсцисс и (0, 4) на оси ординат. Обратите внимание, что допустимые значения параметров (К, С) лежат выше прямой (4) или на ней, как и для прямой (1).

Следовательно, область допустимых значений параметров (К, С) является неограниченной сверху. Из всей плоскости она выделяется осями координат (лежит в первом квадранте) и прямыми (1) и (4) (лежит выше этих прямых, а также включает граничные отрезки). Область допустимых значений параметров, т. е. точек (К, С), можно назвать “неограниченным многоугольником”. Минимум целевой функции 3.8K+4,2C может достигаться только в вершинах этого “многоугольника”. Вершин всего три. Это пересечения с осями абсцисс (10, 0) и ординат (0, 20) прямых (1) и (4) (в каждом случае из двух пересечений берется то, которое удовлетворяет обоим ограничениям). Третья вершина – это точка А пересечения прямых (1) и (4), координаты которой находятся при решении системы уравнений

0,10K+0,25C=1,00

1,00K+0,25C=5,00

Из второго уравнения K=5-0,25C, из первого
0,1(5-0,25C)+0,25C=5,00=0,25C=0,5+0,225C=1, откуда C=0,5/0,225=20/9 и K=5-5/9=40/9. Итак, A=(20/9,40/9).

Прямая (3) на Рис. 8.5 – это прямая, соответствующая целевой функции 3,8K+4,2C. Она проходит между прямыми (1) и (4), задающими ограничения, и минимум достигается в точке А, через которую и проходит прямая (3). Следовательно, минимум равен 3,8X40/9+4,2X20/9=236/9. Задача об оптимизации смеси полностью решена.

Двойственная задача, построенная по ранее описанным правилам, имеет приведенный ниже вид (мы повторяем здесь и исходную задачу об оптимизации смеси, чтобы наглядно продемонстрировать технологию построения двойственной задачи):

3,8K+4,2Cð min W1+5W2+400W3ð max

0,10K+0,25C ≥1,00 0,1W1+1,10W2+110W3≤3,8

1,00K+0,25C ≥5,00 0,25W1+0,25W2+120W3≤4,2

110K+120C ≥400,00 W1≥0

K ≥0 W2≥0

C ≥0 W3≥0

Минимальное значение в прямой задаче, как и должно быть, равно максимальному значению в двойственной задаче, т. е. оба числа равны 236/9. Интерпретация двойственных переменных: W1 – “стоимость” единицы вещества Т, а W2 – “стоимость” единицы вещества Н, измеренные “по их вкладу” в целевую функцию. При этом W3=0, поскольку ограничение на число калорий никак не участвует в формировании оптимального решения. Итак, W1,W2,W3 – это т. н. объективно обусловленные оценки (по Л. В. Канторовичу) ресурсов (веществ Т и Н, калорий).