В задаче о диете число переменных равно

К задачам оптимизации относятся задачи на отыскание

+—максимума или минимума целевой функции

Критерием оптимальности задачи математического программирования является

+—целевая функция

Общая задача линейного программирования имеет вид

+— (max или min), , ,

Задача математического программирования является задачей линейного программирования, если

—целевая функция является линейной, а система ограничений – система линейных уравнений или неравенств

Задача математического программирования является задачей нелинейного программирования, если

+—целевая функция является нелинейной

Задача нелинейного программирования называется квадратичной, если

+—

Задача нелинейного программирования называется задачей дробно – линейного программирования, если

+—

Задача математического программирования называется задачей целочисленного программирования, если

+—все – целые числа,

Абстрактное отображение реального экономического процесса с помощью математических выражений, уравнений, неравенств – это

+—экономико–математическая модель

Любая экономико – математическая модель задачи линейного программирования состоит из

+—целевой функции, системы ограничений и условия неотрицательности переменных

Задача математического программирования называется задачей сепарабельного программирования, если целевая функция равна

+—

Оптимальное решение задачи математического программирования – это

+—допустимое решение системы ограничений, приводящее к максимуму или минимуму целевой функции

Если целевая функция , то задача математического программирования является задачей

+—квадратичного программирования

Динамическое программирование – это математический аппарат, позволяющий

+—осуществить оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов

Если целевая функция , то задача математического программирования, называется задачей

+—дробно – линейного программирования

Все ограничения в задаче математического программирования должны быть

+—непротиворечивы

Задачи оптимального использования ресурсов предполагают

+—ограниченные ресурсы

В задаче об оптимальном распределении ресурсов критерием оптимальности является

+—максимальная прибыль

В задаче «о диете» критерием оптимальности является

+—минимальная стоимость рациона питания

Задачи об оптимальном распределении ресурсов и «о диете» относятся к задачам

+—линейного программирования

В задаче наилучшего использования ресурсов система ограничений называется стандартной, если она содержит все знаки

+—£

Задача линейного программирования решается графическим способом, если в задаче

+—две переменные

Неравенство вида описывает

+—полуплоскость

Областью допустимых решений ЗЛП является

+—выпуклый многогранник

Максимум или минимум целевой функции находится

+—в вершинах выпуклого многоугольника решений

Каноническим видом ЗЛП называется такой ее вид, в котором система ограничений содержит знаки

+—=

Для приведения ЗЛП к каноническому виду вводятся

+—дополнительные переменные

Если ограничение задано со знаком «³», то дополнительная переменная вводится в это ограничение с коэффициентом

+—-1

Если ограничение задано со знаком «£», то дополнительная переменная вводится в это ограничение с коэффициентом

+—+1

В целевую функцию дополнительные переменные вводятся с коэффициентами

+—0

В задаче об оптимальном распределении ресурсов дополнительная переменная имеет экономический смысл:

+—неиспользованные ресурсы i –го вида

В задаче об оптимальном распределении ресурсов коэффициент целевой функции – это

+—прибыль от реализации 1 единицы продукции j– го вида

В задаче об оптимальном распределении ресурсов переменная целевой функции – это

+—количество продукции j – го вида

В задаче «о диете» коэффициент – целевой функции – это

+—цена 1 единицы продукта j– го вида

В задаче «о диете» коэффициент – это

+—содержание питательного вещества с номером i в 1 единице j – го продукта

В задаче об оптимальном распределении ресурсов коэффициент – это

+—норма расхода сырья i – го вида для производства 1 единицы продукции j – го вида

В задаче «о диете» – это

+—суточная норма j – го продукта, необходимая одному животному

В задаче об оптимальном распределении ресурсов целевая функция – это

+—суммарная прибыль от реализации произведенной продукции

В задаче «о диете» целевая функция – это

+—суммарные издержки на приобретение суточного рациона питания

В задаче «о диете» свободные члены системы ограничений – это

+—минимальное количество i – го питательного вещества, необходимое одному животному в сутки

В задаче об оптимальном распределении ресурсов свободные члены системы ограничений – это

+—запасы i – го вида сырья

В задаче о «диете» число ограничений равно

+—числу видов питательных веществ, необходимых каждому животному

В задаче об оптимальном распределении ресурсов число ограничений равно

+—числу видов ресурсов

В задаче о «диете» число дополнительных переменных равно

+—числу видов питательных веществ

В задаче об оптимальном использовании ресурсов число дополнительных переменных равно

+—числу видов ресурсов

Экономико – математическая модель задачи об оптимальном распределении ресурсов в матричной форме имеет вид:

+—

Экономико – математическая модель задачи об оптимальном рационе питания в матричной форме имеет вид:

+—

Дана задача линейного программирования

Виды сырья Нормы расхода сырья Запасы сырья
Изделие 1-го вида Изделие 2-го вида Изделие 3-го вида
S1
S2
S3
Прибыль от реализации 1-го изделия  

Целевая функция и целевая установка этой ЗЛП имеют вид:

+—

Дана задача линейного программирования

Виды сырья Нормы расхода сырья Запасы сырья
Изделие 1-го вида Изделие 2-го вида Изделие 3-го вида
S1
S2
S3
Прибыль от реализации 1-го изделия  

Первое ограничение системы ограничений имеет вид:

+—

Дана задача линейного программирования

Виды питательных веществ Содержание питательного вещества в 1 ед. продукции Минимальная суточная потребность в питательном веществе
1-го вида 2-го вида 3-го вида
Белки
Жиры
Углеводы
Цена 1 ед. продукта  

Целевая функция и целевая установка этой ЗЛП имеют вид:

+—

Дана задача линейного программирования

Виды питательных веществ Содержание питательного вещества в 1 ед. продукции Минимальная суточная потребность в питательном веществе
1-го вида 2-го вида 3-го вида
Белки
Жиры
Углеводы
Цена 1 ед. продукта  
Читайте также:  Холестерин норма у женщин по возрасту диета

Третье ограничение системы ограничений имеет вид:

+—

Система ограничений задачи линейного программирования имеет вид:

.

Многоугольник допустимых решений имеет вид выпуклого

+—четырехугольника

Система ограничений задачи линейного программирования имеет вид:

.

Многоугольник допустимых решений имеет вид выпуклого

+—треугольника

Система ограничений задачи линейного программирования имеет вид:

.

Многоугольник допустимых решений имеет вид выпуклого

+—пятиугольника

Дана ЭММ задачи линейного программирования:

,

.

Оптимальный план данной ЗЛП достигается в точке с координатами

+—

Дана ЭММ задачи линейного программирования:

,

.

Минимум целевой функции достигается в точке с координатами +—



Источник

Пример №1. Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20 000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу.
Недельный расход корма в среднем (за 8 недель) составляет 500г = 0.5 кг.

Для того, чтобы цыплята достигли к 8-й неделе необходимого веса, кормовой рацион должен удовлетворять определённым требованиям по питательности.
Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов.

В таблице приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Смесь должна содержать:

  • не менее 0.8% кальция (от общего веса смеси)
  • не менее 22% белка  (от общего веса смеси)
  • не более 5% клетчатки (от общего веса смеси )

Требуется определить количество (в кг) каждого из трёх ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и её питательности.

ИнгредиентСодержание питательных веществ (кг/ингредиента)Стоимость (руб./кг)
КальцийБелокКлетчатка
Известняк
Зерно
Соевые бобы
0.38
0.001
0.002

0.09
0.5

0.02
0.08
0.04
0.15
0.40

Математическая формулировка задачи. Введём следующие обозначения:

X 1 – содержание известняка в смеси (кг);

Х2 – содержание зерна в смеси (кг);

Х3 – содержание соевых бобов в смеси (кг);

Общий вес смеси, еженедельно расходуемый на кормление цыплят: 20 000 х 0.5 = 10 000 кг.

Ограничения, связанные с содержанием кальция, белка и клетчатки в кормовом рационе, имеют вид:

0.38X1 + 0.001Х2 + 0.002Х3 ≥ 0.008 х 10 000,

0.09Х2 + 0.50Х3 ≥ 0.22 х 10 000,

0.02Х2+ 0.08Х3 ≤ 0.05 х 10 000.

Окончательный вид математической формулировки задачи:

min f(X) = 0.04 x1 + 0.15Х2 +0,40Х3

при ограничениях

Х1+Х2+Х3= 10 000

0.38Х1 + 0.001Х2 + 0.002Х3 ≥ 80

0.09Х2+ 0.50Х3 ≥ 2200

0.02Х2+ 0.08Х3 ≤ 500

Xj > 0,  j = 1, 2, 3.

Перейти к решению симплекс-методом

Задача о составлении рациона (задача о диете, задача о смесях)

Пример №1. Имеется два вида продукции П1 и П2, содержащие питательные вещества S1, S2, S3, S4 (жиры, белки, углеводы, витамины). Содержание числа единиц питательных веществ в единице каждого вида продукции и необходимый минимум питательных веществ приведены в табл. 2.

Таблица 2

Питательные вещества

Число единиц питательных веществ в единице продукции

Необходимый минимум питательных веществ

П1П2
S11210
S2328
S3219
S42211

Стоимость единицы продукции П1 и П2 соответственно равна 3 и 4 д.е.

Решение. Обозначим через х1 и х2 – количество продукции П1 и П2, входящей в дневной рацион. Тогда общая стоимость рациона составит (д.е.)

F = 3×1 + 4×2. (5)

С учетом необходимого минимума питательных веществ составим систему ограничений. Рацион включает (x1 + 2×2) единиц питательного вещества S1, (3×1 + 2×2) единиц питательного вещества S2, (2×1 + x2) единиц питательного вещества S3 и (2×1 + 2×2) единиц питательного вещества S4. Так как содержание питательных веществ S1, S2, S3, S4 в рационе должно быть не менее 10, 8, 9, 11 единиц, соответственно, то получим систему ограничений неравенств:

x1+2×2 ≥ 10 (6)

3×1+2×2 ≥ 8

2×1+x2 ≥ 9

2×1+2×2 ≥ 11

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной рацион , удовлетворяющий системе ограничений (6), при котором функция (5) принимает минимальное значение.

Сформулируем данную задачу в общей постановке.

Обозначим через xj (j = 1, 2,…, n) – количество единиц j-го продукта в дневном рационе. В рационе используется n видов продуктов. Каждый продукт содержит m питательных веществ в количестве не менее bi (i = 1,2,…,m) единиц, aij – число единиц питательного вещества si в единице продукта j-го вида. Известна стоимость cj единицы j-го продукта. Необходимо составить рацион нужной питательности при минимальных затратах на него.

Экономико-математическая модель примет вид:

F=c1x1+c2x2+…+cnxn→(min) (7)

(8)

Замечание 1. Целевую функцию (7) и систему ограничений неравенств можно записать, используя знак ∑ (суммы).

(9)

(10)

Замечание 2. В задаче составления рациона (диеты, кормовой смеси) могут использоваться ограничения не только по необходимому минимуму питательных веществ, но и по минимальному общему весу смеси.

Например. Некоторая фирма имеет возможность купить n различных видов сырья и приготавливать различные виды смесей (продуктов). Каждый вид сырья содержит разное количество питательных веществ. Установлено, что продукция должна удовлетворять некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности (полезности). Необходимо определить количество каждого j-го вида сырья, образующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу смеси и её питательность.

Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

Читайте также:  Рецепты диета при гастрите и панкреатите

,

при ограничениях: на общий расход смеси
на питательность смеси

на не отрицательность переменных

xj≥0, j=1,2,…n,

где xj – количество j-го сырья в смеси;

n – количество видов сырья;

m – количество питательных веществ;

aij – количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице j-го вида сырья;

b1 – минимальное количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице смеси;

cj – стоимость единицы сырья j;

q – минимальный общий вид смеси.

Пример №3. В заводской лаборатории создается антифрикционный сплав (оловянистый баббит), который должен содержать: олова – не меньше 15%, сурьмы – не меньше 15%, свинца – около 70%. Есть четыре сплава, процентный состав и цены на которые приведенные в таблице:

ЭлементыСплав
1234
Олово12201220
Сурьма12181814
Свинец76627066
Цена на 1 кг3,55,24,04,6

Рассчитать количество элементов для сплава каждого вида, необходимое для 1 кг смеси, которая бы обеспечила минимальные затраты.

Решение

Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим через

x1 – количество сплава 1, кг

x2 – количество сплава 2, кг

x3 – количество сплава 3, кг

x4 – количество сплава 4, кг

Система ограничений по содержанию

12×1 + 20×2 + 12×3 + 20×4 ≥ 15(x1 + x2 + x3 + x4)

12×1 + 18×2 + 18×3 + 14×4 ≥ 15(x1 + x2 + x3 + x4)

76×1 + 62×2 + 70×3 + 66×4 = 70(x1 + x2 + x3 + x4)

Ограничение по количеству

x1 + x2 + x3 + x4 = 1 (кг)

Целевая функция

3,5×1 + 5,2×2 + 4×3 + 4,6×4  → min

Ответ: x1 = 0,25; x2 = 0; x3 = 0,375; x4 = 0,375 (решение можно получить через калькулятор или средствами Excel).

Пример №4. Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен в сутки потреблять не менее 63 усл.ед. белков, не менее 147 усл.ед. жиров и не менее 126 усл.ед. углеводов. Для простоты допустим, что имеется всего два вида продуктов и ; стоимость единицы каждого из них равна соответственно 12 и 9 ден.ед. Содержание названных питательных веществ в различных продуктах неодинаково. Предположим, что в единице продукта содержится 9 усл.ед. белков, 7 усл.ед. жиров 9 усл.ед. углеводов; а в единице продукта содержится соответственно 3, 21, 10 усл.ед. тех же питательных веществ. Требуется:

  1. составить экономико-математическую модель задачи, позволяющую сформировать из продуктов и суточную диету, которая с одной стороны содержала бы белков, жиров и углеводов не менее минимально научно обоснованных норм и вместе с тем требовала бы минимальных затрат;
  2. решить задачу графическим способом.

Решение.

x1 – продукт 1, x2 – продукт 2,

Целевая функция: 12×1+9×2 → min

Система ограничений:

9×1+3×2 ≥ 63

7×1+21×2 ≥ 147

9×1+10×2 ≥ 126

Задача о смесях

Постановка задачи: N ингредиентов – y1, y2, y3, y4. В результате смешивания этих ингредиентов в пропорциях g11:g12:g13:g14, g21:g22:g23:g24, g31:g32:g33:g34 и g41:g42:g43:g44 получают смесь n сортов x1, x2, x3, x4. Цена его реализации соответственно s1, s2, s3, s4.

Экономико-математическая модель задачи

Компоненты

Сорта

Объем ресурсов

x1

x2

x3

x4

N1

g11/Σg1i

g21/Σg2i

g31/Σg3i

g41/Σg4i

y1

N2

g12/Σg1i

g22/Σg2i

g32/Σg3i

g42/Σg4i

y2

N3

g13/Σg1i

g23/Σg2i

g33/Σg3i

g43/Σg4i

y3

N4

g14/Σg1i

g24/Σg2i

g34/Σg3i

g44/Σg4i

y4

Цена

s1

s2

s3

s4

Σg1i = g11 + g12 + g13 + g14

Целевая функция

F(x) = s1x1 + s2x2 + s3x3 + s4x4 → max

Ограничения

x1g11/Σg1i + x2g21/Σg2i + x3g31/Σg3i + x4g41/Σg4i ≤ y1
x1g12/Σg1i + x2g22/Σg2i + x3g32/Σg3i + x4g42/Σg4i ≤ y2
x1g13/Σg1i + x2g23/Σg2i + x3g33/Σg3i + x4g43/Σg4i ≤ y3
x1g14/Σg1i + x2g24/Σg2i + x3g34/Σg3i + x4g44/Σg4i ≤ y4

Перейти к составлению условий онлайн

Пример. Завод выпускает 4 вида полуфабрикатов Bi в количествах: В1 – 400 т, В2 – 250 т, В3 – 350 т и В4 – 100 т.

В результате смешения этих компонентов получают 3 вида продукции Aj. Пропорции смешиваемых полуфабрикатов следующие: для А1 – 2:3:5:2, для А2 – 3:1:2:1, для A3 – 2:2:1:3. Стоимость 1 т продукции Aj составляет: А1 – 12 руб., А2 – 10 руб., А3 – 15 руб.

Составить оптимальный план выпуска продукции по критерию:

а) максимальной стоимости выпущенной продукции;

б) максимального использования полуфабрикатов

Задача об оптимальном составе бетонной смеси

Для приготовления b0 кг бетонной смеси c заданными свойствами используются три вещества Аj (j = 1, 2, 3). В xj кг каждого вещества Аj содержится aijxj кг химического элемента Bi (i = 1, 2). Содержание элемента Bi в смеси должно находиться в пределах от bi1 до bi2 кг. Стоимость 1 кг каждого вещества Aj составляет cj руб.

Требуется определить такой состав для приготовления бетонной смеси, при котором общая стоимость израсходованных веществ была бы минимальной.

A1A2A3Нижняя границаВерхняя граница
a11a12a13b1b1
a21a22a23b2b2
c1c2c3  

Источник

-: минимизировать количество потребляемых продуктов

-: максимизировать количество питательных веществ в продуктах питания

-: максимизировать прибыль

+: минимизировать издержки на рацион питания

I:

S: При преобразовании задачи линейного программирования к каноническому виду, дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с коэффициентами,

+: равными нулю

-: равными очень большим положительным числам

-: равными правым частям соответствующих ограничений

-: равными единице

I:

S: Задача линейного программирования

Читайте также:  Можно ли вафли на диете 5

max Z = С ∙ X

А1х1 + … + Аn ∙ хn = А0, X 0

задана

-: в общей форме

-: в скалярной форме

+: в векторной форме

-: в стандартной форме

I:

S: Для задачи о наилучшем использовании ресурсов дополнительные переменные показывают:

+: величину неиспользованного ресурса

-: величину ресурса, использованного в оптимальном плане

-: дополнительную прибыль от сэкономленного ресурса

-: стоимость соответствующего потребляемого ресурса

I:

S: Для задачи о смесях дополнительная переменная показывает:

-: потребление соответствующего питательного вещества в пределах нормы

+: потребление соответствующего питательного вещества в оптимальном плане сверх нормы

-: стоимость соответствующего потребляемого вещества

-: величину ресурса, использованного в оптимальном плане

I:

S: В задаче о рационе требуется:

+: минимизация общей стоимости всех кормов

-: максимизация содержания питательных веществ в кормах

-: минимизация количества кормов

-: минимизация стоимости всех питательных веществ

I:

S: Если какая-то переменная хк задачи ЛП не подчинена условию не отрицательности, то ее следует:

-: исключить из числа переменных

+: заменить двумя неотрицательными переменными, приняв хк = uk – vk

-: увеличить в два раза

-: обнулить

I:

S: Пусть х* – оптимальный план задачи ЛП на max с целевой функцией F. Тогда для любого допустимого плана х выполняется соотношение:

-: F (x) = F (x*)

-: F (x) > F (x*)

+: F (x) ≤ F (x*)

-: F (x) = –F (x*)

I:

S: Если х* – оптимальный план задачи ЛП на min, F – целевая функция, а x– любой допустимый план задачи, то справедливо следующее соотношение:

+: F (x) ≥ F (x*)

-: F (x*) + F (x) = 0

-: F (x*) ∙ F (x) = 1

-: F (x) = F (x*)

I:

S: Линейное программирование это

-: один из приемов разработки программного обеспечения ЭВМ

+: математический метод оптимизации

-: определение последовательности действий при проведении общественных мероприятий

-: составление программ линейной структуры

I:

S: В линейном программировании используются функции, уравнения и неравенства

-: преимущественно линейные

+: только линейные

-: любые

-: в зависимости от решаемой задачи

I:

S: Методы линейного программирования позволяют определить оптимальное экономическое решение

-: всегда

+: да, если оно существует

-: линейное программирование предназначено для других целей

I:

S: Конкретный план в линейном программировании представляется

-: датами

+: числовыми значениями

-: интегральной кривой возможных потерь

-: кривыми спроса

I:

S: Оптимальный план задачи ЛП это

-: любой план

-: любой допустимый план

+: допустимый план, которому соответствует максимум выручки

-: любой опорный план

I:

S: Система ограничений задачи ЛП это система

-: нестрогих неравенств

-: только строгих неравенств

-: только равенств

+: равенств и неравенств

I:

S: Допустимыми являются планы

-: любые

-: любые с положительными значениями

+: удовлетворяющие системе ограничений

-: любые с ненулевыми значениями

I:

S: Целевая функция задачи линейного программирования должна быть

-: нелинейной

+: линейной

-: любой

-:выпуклой

I

S: Математическая модель задачи линейного программирования это

-: целевая функция

+: целевая функция и набор ограничений

-: набор ограничений

I:

S: Методом линейного программирования решаются задачи поиска экстремума

-: нелинейной функции при линейных ограничениях

-: линейной функции при нелинейных ограничениях;

+: линейной функции при линейных ограничениях.

I:

S: Допустимым планом задачи является

-: любой план

+: любой план, обеспечивающий выполнение ограничений

-: это зависит от конкретного содержания задачи

-: любой план с ненулевыми значениями

S: Оптимальным планом задачи является план

-: любой, обеспечивающий выполнение ограничений

-: доставляющий экстремум целевой функции

+: доставляющий экстремум целевой функции при выполнении ограничений

-: любой с ненулевыми значениями

I:

S: В задаче линейного программирования допустимо количество ограничений

+: не более числа переменных

-: равное числу переменных

-: любое

-: не более 1000

I:

S: Максимальное значение функции при ограничениях

равно

-: 8

-: 5

+: 6

-: 1

I:

S: Максимальное значение функции при ограничениях

равно

-: 0

-: -1

-: -2

+: -3

I:

S: Максимальное значение функции при ограничениях

равно

-: 12

-: 14

+: 16

-: 18

I:

S: Максимальное значение функции при ограничениях

равно

-: 23

-: 6

+: 22

-: 14

I:

S: Максимальное значение функции при ограничениях

равно

-: 14

-: 16

-: 22

+: 30

I:

S: Для изготовления изделий и склад может отпустить металла не более 80 кг, причем на одно изделие расходуется 2 кг, а на изделие – 1кг металла. Укажите план производства, при котором обеспечен наибольший доход, если изделий требуется изготовить не более 30 шт., а изделий – не более40 шт., причем одно изделие стоит 5 ден.ед., а одно изделие -3 ден.ед.

+:

-:

-:

-:

-:

I:

S: Если вся выпускаемая продукция или ее часть реализуется комплектами, то в модели задачи необходимо изменить

-: целевую функцию и систему ограничений

-: только целевую функцию

+: только систему ограничений

I:

S: Если предприятие может пополнять объемы ресурсов, неся связанные с этим затраты, но и расширяя свои производственные возможности, то в модели задачи необходимо изменить

-: только целевую функцию

+: целевую функцию и систему ограничений

-: только систему ограничений

Источник