В задаче о диете число переменных равно
К задачам оптимизации относятся задачи на отыскание
+—максимума или минимума целевой функции
Критерием оптимальности задачи математического программирования является
+—целевая функция
Общая задача линейного программирования имеет вид
+— (max или min), , ,
Задача математического программирования является задачей линейного программирования, если
—целевая функция является линейной, а система ограничений – система линейных уравнений или неравенств
Задача математического программирования является задачей нелинейного программирования, если
+—целевая функция является нелинейной
Задача нелинейного программирования называется квадратичной, если
+—
Задача нелинейного программирования называется задачей дробно – линейного программирования, если
+—
Задача математического программирования называется задачей целочисленного программирования, если
+—все – целые числа,
Абстрактное отображение реального экономического процесса с помощью математических выражений, уравнений, неравенств – это
+—экономико–математическая модель
Любая экономико – математическая модель задачи линейного программирования состоит из
+—целевой функции, системы ограничений и условия неотрицательности переменных
Задача математического программирования называется задачей сепарабельного программирования, если целевая функция равна
+—
Оптимальное решение задачи математического программирования – это
+—допустимое решение системы ограничений, приводящее к максимуму или минимуму целевой функции
Если целевая функция , то задача математического программирования является задачей
+—квадратичного программирования
Динамическое программирование – это математический аппарат, позволяющий
+—осуществить оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов
Если целевая функция , то задача математического программирования, называется задачей
+—дробно – линейного программирования
Все ограничения в задаче математического программирования должны быть
+—непротиворечивы
Задачи оптимального использования ресурсов предполагают
+—ограниченные ресурсы
В задаче об оптимальном распределении ресурсов критерием оптимальности является
+—максимальная прибыль
В задаче «о диете» критерием оптимальности является
+—минимальная стоимость рациона питания
Задачи об оптимальном распределении ресурсов и «о диете» относятся к задачам
+—линейного программирования
В задаче наилучшего использования ресурсов система ограничений называется стандартной, если она содержит все знаки
+—£
Задача линейного программирования решается графическим способом, если в задаче
+—две переменные
Неравенство вида описывает
+—полуплоскость
Областью допустимых решений ЗЛП является
+—выпуклый многогранник
Максимум или минимум целевой функции находится
+—в вершинах выпуклого многоугольника решений
Каноническим видом ЗЛП называется такой ее вид, в котором система ограничений содержит знаки
+—=
Для приведения ЗЛП к каноническому виду вводятся
+—дополнительные переменные
Если ограничение задано со знаком «³», то дополнительная переменная вводится в это ограничение с коэффициентом
+—-1
Если ограничение задано со знаком «£», то дополнительная переменная вводится в это ограничение с коэффициентом
+—+1
В целевую функцию дополнительные переменные вводятся с коэффициентами
+—0
В задаче об оптимальном распределении ресурсов дополнительная переменная имеет экономический смысл:
+—неиспользованные ресурсы i –го вида
В задаче об оптимальном распределении ресурсов коэффициент целевой функции – это
+—прибыль от реализации 1 единицы продукции j– го вида
В задаче об оптимальном распределении ресурсов переменная целевой функции – это
+—количество продукции j – го вида
В задаче «о диете» коэффициент – целевой функции – это
+—цена 1 единицы продукта j– го вида
В задаче «о диете» коэффициент – это
+—содержание питательного вещества с номером i в 1 единице j – го продукта
В задаче об оптимальном распределении ресурсов коэффициент – это
+—норма расхода сырья i – го вида для производства 1 единицы продукции j – го вида
В задаче «о диете» – это
+—суточная норма j – го продукта, необходимая одному животному
В задаче об оптимальном распределении ресурсов целевая функция – это
+—суммарная прибыль от реализации произведенной продукции
В задаче «о диете» целевая функция – это
+—суммарные издержки на приобретение суточного рациона питания
В задаче «о диете» свободные члены системы ограничений – это
+—минимальное количество i – го питательного вещества, необходимое одному животному в сутки
В задаче об оптимальном распределении ресурсов свободные члены системы ограничений – это
+—запасы i – го вида сырья
В задаче о «диете» число ограничений равно
+—числу видов питательных веществ, необходимых каждому животному
В задаче об оптимальном распределении ресурсов число ограничений равно
+—числу видов ресурсов
В задаче о «диете» число дополнительных переменных равно
+—числу видов питательных веществ
В задаче об оптимальном использовании ресурсов число дополнительных переменных равно
+—числу видов ресурсов
Экономико – математическая модель задачи об оптимальном распределении ресурсов в матричной форме имеет вид:
+—
Экономико – математическая модель задачи об оптимальном рационе питания в матричной форме имеет вид:
+—
Дана задача линейного программирования
Виды сырья | Нормы расхода сырья | Запасы сырья |
Изделие 1-го вида | Изделие 2-го вида | Изделие 3-го вида |
S1 S2 S3 | ||
Прибыль от реализации 1-го изделия |
Целевая функция и целевая установка этой ЗЛП имеют вид:
+—
Дана задача линейного программирования
Виды сырья | Нормы расхода сырья | Запасы сырья |
Изделие 1-го вида | Изделие 2-го вида | Изделие 3-го вида |
S1 S2 S3 | ||
Прибыль от реализации 1-го изделия |
Первое ограничение системы ограничений имеет вид:
+—
Дана задача линейного программирования
Виды питательных веществ | Содержание питательного вещества в 1 ед. продукции | Минимальная суточная потребность в питательном веществе |
1-го вида | 2-го вида | 3-го вида |
Белки Жиры Углеводы | ||
Цена 1 ед. продукта |
Целевая функция и целевая установка этой ЗЛП имеют вид:
+—
Дана задача линейного программирования
Виды питательных веществ | Содержание питательного вещества в 1 ед. продукции | Минимальная суточная потребность в питательном веществе |
1-го вида | 2-го вида | 3-го вида |
Белки Жиры Углеводы | ||
Цена 1 ед. продукта |
Третье ограничение системы ограничений имеет вид:
+—
Система ограничений задачи линейного программирования имеет вид:
.
Многоугольник допустимых решений имеет вид выпуклого
+—четырехугольника
Система ограничений задачи линейного программирования имеет вид:
.
Многоугольник допустимых решений имеет вид выпуклого
+—треугольника
Система ограничений задачи линейного программирования имеет вид:
.
Многоугольник допустимых решений имеет вид выпуклого
+—пятиугольника
Дана ЭММ задачи линейного программирования:
,
.
Оптимальный план данной ЗЛП достигается в точке с координатами
+—
Дана ЭММ задачи линейного программирования:
,
.
Минимум целевой функции достигается в точке с координатами +—
Источник
Пример №1. Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20 000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу.
Недельный расход корма в среднем (за 8 недель) составляет 500г = 0.5 кг.
Для того, чтобы цыплята достигли к 8-й неделе необходимого веса, кормовой рацион должен удовлетворять определённым требованиям по питательности.
Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов.
В таблице приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Смесь должна содержать:
- не менее 0.8% кальция (от общего веса смеси)
- не менее 22% белка (от общего веса смеси)
- не более 5% клетчатки (от общего веса смеси )
Требуется определить количество (в кг) каждого из трёх ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и её питательности.
Ингредиент | Содержание питательных веществ (кг/ингредиента) | Стоимость (руб./кг) | ||
Кальций | Белок | Клетчатка | ||
Известняк Зерно Соевые бобы | 0.38 0.001 0.002 | – 0.09 0.5 | – 0.02 0.08 | 0.04 0.15 0.40 |
Математическая формулировка задачи. Введём следующие обозначения:
X 1 – содержание известняка в смеси (кг);
Х2 – содержание зерна в смеси (кг);
Х3 – содержание соевых бобов в смеси (кг);
Общий вес смеси, еженедельно расходуемый на кормление цыплят: 20 000 х 0.5 = 10 000 кг.
Ограничения, связанные с содержанием кальция, белка и клетчатки в кормовом рационе, имеют вид:
0.38X1 + 0.001Х2 + 0.002Х3 ≥ 0.008 х 10 000,
0.09Х2 + 0.50Х3 ≥ 0.22 х 10 000,
0.02Х2+ 0.08Х3 ≤ 0.05 х 10 000.
Окончательный вид математической формулировки задачи:
min f(X) = 0.04 x1 + 0.15Х2 +0,40Х3
при ограничениях
Х1+Х2+Х3= 10 000
0.38Х1 + 0.001Х2 + 0.002Х3 ≥ 80
0.09Х2+ 0.50Х3 ≥ 2200
0.02Х2+ 0.08Х3 ≤ 500
Xj > 0, j = 1, 2, 3.
Перейти к решению симплекс-методом
Задача о составлении рациона (задача о диете, задача о смесях)
Пример №1. Имеется два вида продукции П1 и П2, содержащие питательные вещества S1, S2, S3, S4 (жиры, белки, углеводы, витамины). Содержание числа единиц питательных веществ в единице каждого вида продукции и необходимый минимум питательных веществ приведены в табл. 2.
Таблица 2
Питательные вещества | Число единиц питательных веществ в единице продукции | Необходимый минимум питательных веществ | |
П1 | П2 | ||
S1 | 1 | 2 | 10 |
S2 | 3 | 2 | 8 |
S3 | 2 | 1 | 9 |
S4 | 2 | 2 | 11 |
Стоимость единицы продукции П1 и П2 соответственно равна 3 и 4 д.е.
Решение. Обозначим через х1 и х2 – количество продукции П1 и П2, входящей в дневной рацион. Тогда общая стоимость рациона составит (д.е.)
F = 3×1 + 4×2. (5)
С учетом необходимого минимума питательных веществ составим систему ограничений. Рацион включает (x1 + 2×2) единиц питательного вещества S1, (3×1 + 2×2) единиц питательного вещества S2, (2×1 + x2) единиц питательного вещества S3 и (2×1 + 2×2) единиц питательного вещества S4. Так как содержание питательных веществ S1, S2, S3, S4 в рационе должно быть не менее 10, 8, 9, 11 единиц, соответственно, то получим систему ограничений неравенств:
x1+2×2 ≥ 10 (6)
3×1+2×2 ≥ 8
2×1+x2 ≥ 9
2×1+2×2 ≥ 11
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной рацион , удовлетворяющий системе ограничений (6), при котором функция (5) принимает минимальное значение.
Сформулируем данную задачу в общей постановке.
Обозначим через xj (j = 1, 2,…, n) – количество единиц j-го продукта в дневном рационе. В рационе используется n видов продуктов. Каждый продукт содержит m питательных веществ в количестве не менее bi (i = 1,2,…,m) единиц, aij – число единиц питательного вещества si в единице продукта j-го вида. Известна стоимость cj единицы j-го продукта. Необходимо составить рацион нужной питательности при минимальных затратах на него.
Экономико-математическая модель примет вид:
F=c1x1+c2x2+…+cnxn→(min) (7)
(8)
Замечание 1. Целевую функцию (7) и систему ограничений неравенств можно записать, используя знак ∑ (суммы).
(9)
(10)
Замечание 2. В задаче составления рациона (диеты, кормовой смеси) могут использоваться ограничения не только по необходимому минимуму питательных веществ, но и по минимальному общему весу смеси.
Например. Некоторая фирма имеет возможность купить n различных видов сырья и приготавливать различные виды смесей (продуктов). Каждый вид сырья содержит разное количество питательных веществ. Установлено, что продукция должна удовлетворять некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности (полезности). Необходимо определить количество каждого j-го вида сырья, образующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу смеси и её питательность.
Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:
,
при ограничениях: на общий расход смеси
на питательность смеси
на не отрицательность переменных
xj≥0, j=1,2,…n,
где xj – количество j-го сырья в смеси;
n – количество видов сырья;
m – количество питательных веществ;
aij – количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице j-го вида сырья;
b1 – минимальное количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице смеси;
cj – стоимость единицы сырья j;
q – минимальный общий вид смеси.
Пример №3. В заводской лаборатории создается антифрикционный сплав (оловянистый баббит), который должен содержать: олова – не меньше 15%, сурьмы – не меньше 15%, свинца – около 70%. Есть четыре сплава, процентный состав и цены на которые приведенные в таблице:
Элементы | Сплав | |||
1 | 2 | 3 | 4 | |
Олово | 12 | 20 | 12 | 20 |
Сурьма | 12 | 18 | 18 | 14 |
Свинец | 76 | 62 | 70 | 66 |
Цена на 1 кг | 3,5 | 5,2 | 4,0 | 4,6 |
Рассчитать количество элементов для сплава каждого вида, необходимое для 1 кг смеси, которая бы обеспечила минимальные затраты.
Решение
Составим экономико-математическую модель задачи.
Обозначим через
x1 – количество сплава 1, кг
x2 – количество сплава 2, кг
x3 – количество сплава 3, кг
x4 – количество сплава 4, кг
Система ограничений по содержанию
12×1 + 20×2 + 12×3 + 20×4 ≥ 15(x1 + x2 + x3 + x4)
12×1 + 18×2 + 18×3 + 14×4 ≥ 15(x1 + x2 + x3 + x4)
76×1 + 62×2 + 70×3 + 66×4 = 70(x1 + x2 + x3 + x4)
Ограничение по количеству
x1 + x2 + x3 + x4 = 1 (кг)
Целевая функция
3,5×1 + 5,2×2 + 4×3 + 4,6×4 → min
Ответ: x1 = 0,25; x2 = 0; x3 = 0,375; x4 = 0,375 (решение можно получить через калькулятор или средствами Excel).
Пример №4. Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен в сутки потреблять не менее 63 усл.ед. белков, не менее 147 усл.ед. жиров и не менее 126 усл.ед. углеводов. Для простоты допустим, что имеется всего два вида продуктов и ; стоимость единицы каждого из них равна соответственно 12 и 9 ден.ед. Содержание названных питательных веществ в различных продуктах неодинаково. Предположим, что в единице продукта содержится 9 усл.ед. белков, 7 усл.ед. жиров 9 усл.ед. углеводов; а в единице продукта содержится соответственно 3, 21, 10 усл.ед. тех же питательных веществ. Требуется:
- составить экономико-математическую модель задачи, позволяющую сформировать из продуктов и суточную диету, которая с одной стороны содержала бы белков, жиров и углеводов не менее минимально научно обоснованных норм и вместе с тем требовала бы минимальных затрат;
- решить задачу графическим способом.
Решение.
x1 – продукт 1, x2 – продукт 2,
Целевая функция: 12×1+9×2 → min
Система ограничений:
9×1+3×2 ≥ 63
7×1+21×2 ≥ 147
9×1+10×2 ≥ 126
Задача о смесях
Постановка задачи: N ингредиентов – y1, y2, y3, y4. В результате смешивания этих ингредиентов в пропорциях g11:g12:g13:g14, g21:g22:g23:g24, g31:g32:g33:g34 и g41:g42:g43:g44 получают смесь n сортов x1, x2, x3, x4. Цена его реализации соответственно s1, s2, s3, s4.
Экономико-математическая модель задачи
Компоненты | Сорта | Объем ресурсов | |||
x1 | x2 | x3 | x4 | ||
N1 | g11/Σg1i | g21/Σg2i | g31/Σg3i | g41/Σg4i | y1 |
N2 | g12/Σg1i | g22/Σg2i | g32/Σg3i | g42/Σg4i | y2 |
N3 | g13/Σg1i | g23/Σg2i | g33/Σg3i | g43/Σg4i | y3 |
N4 | g14/Σg1i | g24/Σg2i | g34/Σg3i | g44/Σg4i | y4 |
Цена | s1 | s2 | s3 | s4 |
Σg1i = g11 + g12 + g13 + g14
Целевая функция
F(x) = s1x1 + s2x2 + s3x3 + s4x4 → max
Ограничения
x1g11/Σg1i + x2g21/Σg2i + x3g31/Σg3i + x4g41/Σg4i ≤ y1
x1g12/Σg1i + x2g22/Σg2i + x3g32/Σg3i + x4g42/Σg4i ≤ y2
x1g13/Σg1i + x2g23/Σg2i + x3g33/Σg3i + x4g43/Σg4i ≤ y3
x1g14/Σg1i + x2g24/Σg2i + x3g34/Σg3i + x4g44/Σg4i ≤ y4
Перейти к составлению условий онлайн
Пример. Завод выпускает 4 вида полуфабрикатов Bi в количествах: В1 – 400 т, В2 – 250 т, В3 – 350 т и В4 – 100 т.
В результате смешения этих компонентов получают 3 вида продукции Aj. Пропорции смешиваемых полуфабрикатов следующие: для А1 – 2:3:5:2, для А2 – 3:1:2:1, для A3 – 2:2:1:3. Стоимость 1 т продукции Aj составляет: А1 – 12 руб., А2 – 10 руб., А3 – 15 руб.
Составить оптимальный план выпуска продукции по критерию:
а) максимальной стоимости выпущенной продукции;
б) максимального использования полуфабрикатов
Задача об оптимальном составе бетонной смеси
Для приготовления b0 кг бетонной смеси c заданными свойствами используются три вещества Аj (j = 1, 2, 3). В xj кг каждого вещества Аj содержится aijxj кг химического элемента Bi (i = 1, 2). Содержание элемента Bi в смеси должно находиться в пределах от bi1 до bi2 кг. Стоимость 1 кг каждого вещества Aj составляет cj руб.
Требуется определить такой состав для приготовления бетонной смеси, при котором общая стоимость израсходованных веществ была бы минимальной.
A1 | A2 | A3 | Нижняя граница | Верхняя граница |
a11 | a12 | a13 | b1 | b1 |
a21 | a22 | a23 | b2 | b2 |
c1 | c2 | c3 |
Источник
-: минимизировать количество потребляемых продуктов
-: максимизировать количество питательных веществ в продуктах питания
-: максимизировать прибыль
+: минимизировать издержки на рацион питания
I:
S: При преобразовании задачи линейного программирования к каноническому виду, дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с коэффициентами,
+: равными нулю
-: равными очень большим положительным числам
-: равными правым частям соответствующих ограничений
-: равными единице
I:
S: Задача линейного программирования
max Z = С ∙ X
А1х1 + … + Аn ∙ хn = А0, X 0
задана
-: в общей форме
-: в скалярной форме
+: в векторной форме
-: в стандартной форме
I:
S: Для задачи о наилучшем использовании ресурсов дополнительные переменные показывают:
+: величину неиспользованного ресурса
-: величину ресурса, использованного в оптимальном плане
-: дополнительную прибыль от сэкономленного ресурса
-: стоимость соответствующего потребляемого ресурса
I:
S: Для задачи о смесях дополнительная переменная показывает:
-: потребление соответствующего питательного вещества в пределах нормы
+: потребление соответствующего питательного вещества в оптимальном плане сверх нормы
-: стоимость соответствующего потребляемого вещества
-: величину ресурса, использованного в оптимальном плане
I:
S: В задаче о рационе требуется:
+: минимизация общей стоимости всех кормов
-: максимизация содержания питательных веществ в кормах
-: минимизация количества кормов
-: минимизация стоимости всех питательных веществ
I:
S: Если какая-то переменная хк задачи ЛП не подчинена условию не отрицательности, то ее следует:
-: исключить из числа переменных
+: заменить двумя неотрицательными переменными, приняв хк = uk – vk
-: увеличить в два раза
-: обнулить
I:
S: Пусть х* – оптимальный план задачи ЛП на max с целевой функцией F. Тогда для любого допустимого плана х выполняется соотношение:
-: F (x) = F (x*)
-: F (x) > F (x*)
+: F (x) ≤ F (x*)
-: F (x) = –F (x*)
I:
S: Если х* – оптимальный план задачи ЛП на min, F – целевая функция, а x– любой допустимый план задачи, то справедливо следующее соотношение:
+: F (x) ≥ F (x*)
-: F (x*) + F (x) = 0
-: F (x*) ∙ F (x) = 1
-: F (x) = F (x*)
I:
S: Линейное программирование это
-: один из приемов разработки программного обеспечения ЭВМ
+: математический метод оптимизации
-: определение последовательности действий при проведении общественных мероприятий
-: составление программ линейной структуры
I:
S: В линейном программировании используются функции, уравнения и неравенства
-: преимущественно линейные
+: только линейные
-: любые
-: в зависимости от решаемой задачи
I:
S: Методы линейного программирования позволяют определить оптимальное экономическое решение
-: всегда
+: да, если оно существует
-: линейное программирование предназначено для других целей
I:
S: Конкретный план в линейном программировании представляется
-: датами
+: числовыми значениями
-: интегральной кривой возможных потерь
-: кривыми спроса
I:
S: Оптимальный план задачи ЛП это
-: любой план
-: любой допустимый план
+: допустимый план, которому соответствует максимум выручки
-: любой опорный план
I:
S: Система ограничений задачи ЛП это система
-: нестрогих неравенств
-: только строгих неравенств
-: только равенств
+: равенств и неравенств
I:
S: Допустимыми являются планы
-: любые
-: любые с положительными значениями
+: удовлетворяющие системе ограничений
-: любые с ненулевыми значениями
I:
S: Целевая функция задачи линейного программирования должна быть
-: нелинейной
+: линейной
-: любой
-:выпуклой
I
S: Математическая модель задачи линейного программирования это
-: целевая функция
+: целевая функция и набор ограничений
-: набор ограничений
I:
S: Методом линейного программирования решаются задачи поиска экстремума
-: нелинейной функции при линейных ограничениях
-: линейной функции при нелинейных ограничениях;
+: линейной функции при линейных ограничениях.
I:
S: Допустимым планом задачи является
-: любой план
+: любой план, обеспечивающий выполнение ограничений
-: это зависит от конкретного содержания задачи
-: любой план с ненулевыми значениями
S: Оптимальным планом задачи является план
-: любой, обеспечивающий выполнение ограничений
-: доставляющий экстремум целевой функции
+: доставляющий экстремум целевой функции при выполнении ограничений
-: любой с ненулевыми значениями
I:
S: В задаче линейного программирования допустимо количество ограничений
+: не более числа переменных
-: равное числу переменных
-: любое
-: не более 1000
I:
S: Максимальное значение функции при ограничениях
равно
-: 8
-: 5
+: 6
-: 1
I:
S: Максимальное значение функции при ограничениях
равно
-: 0
-: -1
-: -2
+: -3
I:
S: Максимальное значение функции при ограничениях
равно
-: 12
-: 14
+: 16
-: 18
I:
S: Максимальное значение функции при ограничениях
равно
-: 23
-: 6
+: 22
-: 14
I:
S: Максимальное значение функции при ограничениях
равно
-: 14
-: 16
-: 22
+: 30
I:
S: Для изготовления изделий и склад может отпустить металла не более 80 кг, причем на одно изделие расходуется 2 кг, а на изделие – 1кг металла. Укажите план производства, при котором обеспечен наибольший доход, если изделий требуется изготовить не более 30 шт., а изделий – не более40 шт., причем одно изделие стоит 5 ден.ед., а одно изделие -3 ден.ед.
+:
-:
-:
-:
-:
I:
S: Если вся выпускаемая продукция или ее часть реализуется комплектами, то в модели задачи необходимо изменить
-: целевую функцию и систему ограничений
-: только целевую функцию
+: только систему ограничений
I:
S: Если предприятие может пополнять объемы ресурсов, неся связанные с этим затраты, но и расширяя свои производственные возможности, то в модели задачи необходимо изменить
-: только целевую функцию
+: целевую функцию и систему ограничений
-: только систему ограничений
Источник