Линейное программирование задача об оптимальной диете

Имеется n видов продуктов питания, в которых содержится m типов питательных веществ (белки, жиры, углеводы). В одной весовой единице продукта i-го типа (i {1, 2, …, n}) содержится аi единиц питательного вещества j-го вида (j {1, 2, …, m}). Известна минимальная суточная потребность bj (j {1,2,…, т}) человека в каждом из видов питательных веществ. Задана калорийность сi одной весовой единицы i-го продукта (i принадлежит {1, 2, …, n}).

Требуется определить оптимальный состав рациона продуктов, такой, чтобы каждое питательное вещество содержалось в нем в необходимом количестве, обеспечивающем суточную потребность человека, и при этом суммарная калорийность рациона была минимальной.

Ведем в рассмотрение следующие переменные: х – весовое количество продукта питания i-го типа в суточном рационе.

Тогда в общем случае математическая постановка задачи об оптимальной диете может быть сформулирована следующим образом:

(4)

где множество допустимых альтернатив ∆ß формируется следующей системой ограничений типа неравенств:

(5)

x1,x2,…,xn ≥ 0 (6)

Для решения задачи об оптимальной диете с помощью программы MS Excel необходимо задать конкретные значения параметрам исходной задачи.

Для определенности предположим, что в качестве исходных типов продуктов рассматриваются: хлеб, мясо, сыр, бананы, огурцы, помидоры, виноград (n = 7), а в качестве питательных веществ рассматриваются белки, жиры, углеводы (m = 3).

Калорийность одной весовой единицы каждого из продуктов следующая: с1 = 2060, с2= 2430, с3= 3600, с4= 890, с5= 140, с6= 230, с7 = 650. Содержание питательных веществ в каждом из продуктов может быть задано в форме нижеприведенной таблицы.

Минимальная суточная потребность в питательных веществах следующая: в белках b1 = 100, в жирах b2= 70, в углеводах b3 = 400.

Для решения данной задачи c помощью программы MS Excel создадим новую книгу с именем Линейное программирование и изменим имя ее второго рабочего листа на Задача о диете.

Таблица – Содержание питательных веществ в продуктах питания

Этап. Создание математической модели задачи

Составим математическую модель процесса по описанию задачи:

2060Х1+2430Х2+3600Х3+890Х4+140X5+230X6+650X7=Fmin – целевая функция (суммарная калорийность продуктов).

{61Х1+220Х2+230Х3+15Х4+8X5+11X6+2X7 >= 100

{12Х1+172Х2+290Х3+Х4 +X5+2X6+6X7 >=70 – ограничения модели

{420Х1+212Х4 +26X5+38X6+155X7 >=400

x1,x2,…,xn ≥ 0, где n=7 – граничные условия

Этап. Создание формы

Для решения поставленной задачи выполним следующие подготовительные действия:

1. Внесем необходимые надписи в ячейки A1:I1, A2:A7, B4, I4, J4.

2. В ячейки ВЗ:НЗвведем значения коэффициентов целевой функции: с1 = 2060, c2 = 2430, c3 = 3600, c4 = 890, c5 = 140, c6 = 230, c7= 650.

3. В ячейку I2 введем формулу: =СУММПРОИЗВ(B2:Н2;B3:H3), которая представляет целевую функцию (4).

4. В ячейки В5:Н7введем значения коэффициентов ограничений, взятых из таблицы.

Рисунок 6.4 – Исходные данные для решения задачи об оптимальной диете

5. В ячейки J5:J7введем значения правых частей ограничений, соответствующих минимальной суточной потребности в питательных веществах: в белках b1=100, жирах b2= 70 и углеводах b3= 400.

6. В ячейку I5введем формулу: =СУММПРОИЗВ($B$2:$H$2;В5:Н5), которая представляет левую часть первого ограничения (5).

7. Скопируем формулу, введенную в ячейку I5,в ячейки I6 и I7.

8. Внешний вид рабочего листа MS Office Excel с исходными данными для решения задачи об оптимальном рационе питания имеет следующий вид (pиc. 6.4).

Для отображения формул в ячейках рабочего листа необходимо выполнить команду меню: Формулы и на панели инструментовв группе Зависимости формул выбрать Показатьформулы.

Читайте также:

Рекомендуемые страницы:

©2015-2020 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-12
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КИРОВСКИЙ ФИЛИАЛ

Методы анализа данных

Методическое пособие и контрольные задания по темам

«Математическое программирование» c использованием табличного процессора Microsoft Excel

для студентов заочной формы обучения направления «Экономика»

Киров 2014г.

Методы линейного программирования получили широкое распространение при решении практических задач, связанных с составлением производственных планов, графиков обслуживания потребителей, оптимальным распределением ресурсов, транспортных потоков, размещением оборудования, с составлением различного рода смесей и т.д.

Методическое пособие содержит краткие теоретические сведения, необходимые для выполнения лабораторных работ, и практический материал для решения задач линейного программирования с использованием возможностей табличного процессора Excel. На конкретных типовых примерах подробно разобраны порядок выполнения лабораторных работ по линейной оптимизации.

В целях закрепления пройденного материала в конце каждой темы приведены задания для самостоятельной работы. Каждое задание содержит 5 вариантов. Для выполнения работы необходимо знание соответствующего теоретического материала.

Задачи линейного программирования

Линейное программирование (ЛП) — это раздел математики, занимающийся решением таких задач на отыскание наибольших и наименьших значений, для которых методы математического анализа оказываются непригодными. Другими словами термин «линейное программирование» характеризует определение программы (плана) работы конкретного экономического объекта на основе выявления линейных связей между его элементами. Задачей линейного программирования является нахождение оптимального, т. е. наилучшего, плана при заданной системе налагаемых на решение ограничений.

К классу задач линейного программирования относится большое количество разнообразных задач планирования и управления, как, например:

1) нахождение оптимального плана выпуска продукции (оптимальное распределение ресурсов);

2) оптимизация межотраслевых потоков (планирование производства различных видов продукции по отраслям);

3) определение оптимального рациона (оптимизация состава химической смеси);

4) транспортная задача (оптимальное распределение потоков товарных поставок по транспортной сети);

5) задача о размещении производства (планирование с учётом затрат на производство и транспортировку продукции);

6) задача о назначениях (оптимальное распределение различных видов транспортных средств) и др.

Задачей линейного программирования — задача оптимизации (т. е. максимизации или минимизации) линейной функции

                                       (1)

при наличии линейных ограничений

                             (2)

,

Другими словами, необходимо найти такое решение  системы (2), при котором линейная функция (1) принимает оптимальное значение.

В этой задаче число неизвестных  должно быть больше числа условий , иначе будет нарушено условие единственности решения, выполняющееся в оптимизационной задаче.

Задача об оптимальном составе смеси (задача составления рациона, задача о диете)

К группе задач о смесях относят задачи по отысканию наиболее экономичного набора из определённых ингредиентов (пищевых продуктов, руды, нефти и др.), обеспечивающих получение смеси с заданными свойствами (ограничения на физический или химический состав смеси и на наличие необходимых материалов). Иными словами, получаемые смеси должны иметь в своём составе  различных компонентов в определённых количествах, а сами компоненты являются составными частями  исходных материалов.

Задача 1. Для откорма животных на ферме в их ежедневный рацион необходимо включить не менее 33-х единиц питательного вещества , 23-х единиц вещества  и 12-ти единиц вещества . Для откорма используется 3 вида кормов. Данные о содержании питательных веществ и стоимости весовой единицы каждого корма даны в таблице 1.

Таблица 1

Требуется составить наиболее дешёвый рацион, при котором каждое животное получило бы необходимые количества питательных веществ ,  и .

Математическая постановка задачи 1. Пусть , ,  — количества кормов I, II, III видов, включаемые в ежедневный рацион ( , ). Тогда должно быть:

                                (3)

При этом линейная функция (стоимость рациона)

                           (4)

Решение задачи 1 в среде Microsoft Excel.

В настоящее время одним из наиболее известных способов численного решения задач линейного программирования является использование надстройки «Поиск решения» электронных таблиц Microsoft Excel.

Теоретической основой надстройки «Поиск решения» является симплекс-метод, позволяющий находить оптимальное решение задачи планирования с помощью итерационного процесса перехода к улучшающимся планам. «Поиск решения» является дополнением Excel, т. е. может не входить в стандартный вариант установки электронных таблиц. Для его добавления достаточно воспользоваться командой Сервис®Надстройки®Поиск решения.

При решении задачи с помощью надстройки Поиск решения необходимо:

1. открыть окно Microsoft Excel;

2. заполнить ячейкиA1-А4 таблицы обозначениями , ,  и min соответственно (см. рисунок 1);

Рисунок 1

3. в ячейку В4 записать формулу (4) через адреса соответствующих ячеек  (адреса ячеек вводятся щелчком мыши по соответствующей ячейке или набираются с клавиатуры на английской раскладке) (см. рисунок 2), нажать Enter;

Рисунок 2

4. в диапазон ячеек А7-С9 записать систему (3) через адреса соответствующих ячеек, т. е. в А7 ввести формулу , нажать Enter, в А8 ввести формулу , нажать Enter, в А9 ввести формулу , нажать Enter, в ячейки В7-В9 ввести слова не менее, в ячейки С7-С9 33, 23 и 12 соответственно (см. рисунок 3);

Рисунок 3

5. для решения поставленной задачи в меню Сервис выбрать пункт Поиск решения… (см. рисунок 4);

Рисунок 4

6. в появившемся окне Поиск решения в поле Установить целевую ячейку надо щёлкнуть по кнопке , затем в ячейке B4 и снова по кнопке ; в поле Равной установить флажок (щёлкнуть левой кнопкой мыши в соответствующем кружке) минимальному значению, в поле Изменяя ячейки щёлкнуть по кнопке , выделить мышью диапазон ячеек В1¸В3 и снова щёлкнуть по кнопке  (см. рисунок 5);

Рисунок 5

7. в этом же окне Поиск решения осталось незаполненным поле Ограничения, поэтому надо нажать на копку Добавить: появится новое окно Добавление ограничения, в поле Ссылка на ячейку надо щёлкнуть по кнопке , затем выделить мышью диапазон ячеек В1¸В3 и снова щёлкнуть по кнопке , в следующем поле необходимо выбрать знак >=, нажав , затем в поле Ограничение ввести 0 (см. рисунок 6);

Рисунок 6

8. в этом же окне Добавление ограничения нажать кнопку Добавить (появится новое лось окно Добавление ограничения) и ввести новое ограничение: в поле Ссылка на ячейку надо щёлкнуть по кнопке , затем выделить мышью диапазон ячеек А7¸А9 и снова щёлкнуть по кнопке , в следующем поле необходимо выбрать знак >=, нажав , затем в поле Ограничение надо щёлкнуть по кнопке , затем выделить мышью диапазон ячеек C7¸C9 и снова щёлкнуть по кнопке  (см. рисунок 7);

Рисунок 7

9. теперь все ограничения нами учтены: надо нажать кнопку ОК, после чего снова откроется диалоговое окно Поиск решения, и надо нажать кнопку Выполнить (см. рисунок 8);

Рисунок 8

10. в появившемся диалоговом окне Результаты поиска решения (в котором компьютер предлагает по умолчанию сохранить найденное решение) надо нажать кнопку ОК (см. рисунок 9).

Рисунок 9

11. Результат полученных вычислений представлен на рисунке 10.

Рисунок 10

Замечание 1. Если в неравенствах (3) знаки разные ( , , ), то ограничения в пункте 8 вносятся отдельно для каждой строки, а не через диапазон, как в примере.

Замечание 2. Если часть ограничений представляют собой неравенства другого знака (в данном случае ), то все коэффициенты и свободные члены для данных строк умножаются на  и знак выставляется одинаковый для всей системы.

Замечание 3. На практике часто требуется, чтобы на переменные , ,  налагалось условие целочисленности (например, если какой-то продукт нельзя разрезать на части, а можно добавлять в рацион только целыми порциями), в этом случае в окне Добавление ограничения, в поле Ссылка на ячейку надо щёлкнуть по кнопке , затем выделить мышью диапазон ячеек В1¸В3 и снова щёлкнуть по кнопке , в следующем поле необходимо выбрать условие ЦЕЛ, нажав  (см. рисунок 11).

Рисунок 11

Задача 2. В баре имеются три компонента: коньяк, шампанское, сок. Цель: подобрать оптимальный состав коктейля из этих трёх компонентов, если известно: 1. стоимости ингредиентов в рублях: , , ; 2. содержание алкоголя в промиллях , , ; 3. вкусовые качества в баллах , , . Крепость коктейля должна быть не меньше 0,2 промилле. Вкус должен иметь не менее 8 баллов.

Математическая постановка задачи 2. Пусть , ,  — доля каждого компонента в коктейле ( , ).

Тогда должно быть:

                                              (5)

(третье условие отражает наличие в составе смеси только трёх компонентов, т. е. то, что все три компонента составляют весь коктейль в целом — 1).

При этом линейная функция (стоимость коктейля) будет иметь вид:

                                      (6)

Решим задачу 2 в программе Microsoft Excel. Для этого:

1. надо заполнить ячейки А1-А3 таблицы обозначениями , ,  и min соответственно (см. рисунок 12);

Рисунок 12

2. выполнить действия, аналогичные действиям, описанным в пунктах 3–9 (с учётом Замечания 1) Задачи 1, изменяться только ссылки на ячейки (см. рисунки 13-14):

                              Рисунок 13                          Рисунок 14

(в ячейку А7 введена формула: , в ячейку А8 введена формула: ), в результате чего окно Поиск решения будет выглядеть так, как представлено на рисунке 15, а решение задачи — на рисунке 16.

                             Рисунок 15                                    Рисунок 16

Замечание 5. Для того чтобы в решении задачи после запятой отображалось только 2 знака, надо выделить соответствующий диапазон ячеек, щёлкнуть на выделенном правой кнопкой мыши, в появившемся контекстном меню выбрать пункт Формат ячеек и на вкладке Число выбрать Числовой, указав Число десятичных знаков 2 (см. рисунок 17).

Рисунок 17

Варианты индивидуальных заданий

Решить задачу в Microsoft Excel.

Имеется  продуктов , содержащих  видов питательных веществ . Пусть , где ;  — количество единиц -го питательного вещества в единице -го продукта;  — суточная потребность (минимальная норма) организма в -м питательном веществе;  — стоимость единицы -го продукта. Требуется выбрать такой суточный рацион питания (т. е. назначить количества продуктов , входящих в него), чтобы условия по питательным веществам были выполнены, а стоимость рациона была минимальной (варианты заданий даны в таблице 2).

Таблица 2